ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆ

ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆಯ ಸಂಭಾವ್ಯತಾಸಾಂದ್ರತೆ ಉತ್ಪನ್ನ

ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆ ಎಂಬುದು ಸಂಖ್ಯಾಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ (ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್) ಬರುವ ಒಂದು ಪರಿಕಲ್ಪನೆ; ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಗ್ಯಾಮ ಉತ್ಪನ್ನವಾದ $\Gamma (n)$ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವುದರಿಂದ ಈ ಹೆಸರು ಬಂದಿದೆ. ಈಗ $\Gamma (n)=\int \limits _{0}^{\infty }x^{n-1}e^{-x}dx,\,n>0$ ಎಂಬುದು ಗ್ಯಾಮ ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿರೂಪಣೆ. ಇಲ್ಲಿ x ಎಂಬುದು ಅನೃಣ (ನಾನ್‌ನೆಗೆಟೆವ್) ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ (continuous) ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ವಿಚರವಾಗಿದ್ದು (ಪ್ರಾಬೆಬಿಲಿಟಿ ವೇರಿಯೆಬಲ್) ಅದರ ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ಸಾಂದ್ರತೆ $G=(x|a)={\frac {1}{\Gamma (a)}}e^{-x}x^{a-1}$ ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ x ನ ವಿತರಣೆಗೆ ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇದನ್ನು G(x) ಎಂದು ಸೂಚಿಸುವುದೂ ಉಂಟು. ಇಲ್ಲಿ a > 0 ಇರಬೇಕು. a ಗೆ ಈ ವಿತರಣೆಯ ಪ್ರಾಚಲ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪಾಲಿಸುವ ವಿಚರಕ್ಕೆ (ವೇರಿಯೇಟ್) ಗ್ಯಾಮ ವಿಚರವೆಂದು ಹೆಸರು.

ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆಯ ಗುಣಗಳು

ಈ ವಿತರಣೆಯ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ x-ಅಕ್ಷ ಅನಂತಸ್ಪರ್ಶಿ (ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್) ಆಗಿರುವುದು. a > 1 ಆದಾಗ x = a - 1 ಎಂಬಲ್ಲಿ ಬಹುಳಕ (ಮೋಡ್) ಇರುವುದು. x > 2 ಆದಾಗ x-ಅಕ್ಷ ಈ ವಕ್ರವನ್ನು ಮೂಲಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ. 1 < a < 2 ಆದಾಗ y-ಅಕ್ಷ ಈ ವಕ್ರವನ್ನು ಮೂಲಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ. 0 < a < 1 ಆದಾಗ ಎರಡು ಅಕ್ಷಗಳೂ ವಕ್ರದ ಅನಂತಸ್ಪರ್ಶಿಗಳಾಗಿರುವುವು.

ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆಯ ಗಣಿತ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು $E(x)=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}x^{a}}{\Gamma (a)}}\,dx$ ಎಂಬ ಸಾಮ್ಯದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಈ ಅವಕಲವನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು μ = E(x) = a ಎಂಬ ಬೆಲೆ ದೊರೆಯುವುದು. x = 0 ಬಿಂದುವನ್ನು ಕುರಿತು ಎರಡನೆಯ ಘೂರ್ಣವನ್ನು (ಮೊಮೆಂಟ್) ಗಣಿಸಲು a (a + 1) ದೊರೆಯುವುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ವಿತರಣೆಯ ವಿಚರಣೆ (ವೇರಿಯನ್ಸ್) a ಇರುವುದು. ಅಂದರೆ ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆಯ ಮಧ್ಯಮ ಮತ್ತು ವಿಚರಣೆ ಎರಡೂ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುವು. ಈ ಗುಣ ಪೋಸಾನ್ ವಿತರಣೆಗೂ ಇರುವುದೆಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬಹುದು.

ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ x = 0 ಬಿಂದುವನ್ನು ಕುರಿತು r ನೆಯ ಘೂರ್ಣವನ್ನು ಗಣಿಸಲಾಗಿ μ_r' = a (a+1) (a+2) ... ... (a+r-1) ಎಂಬ ಫಲ ದೊರೆಯುವುದು.

ಗ್ಯಾಮ ಉತ್ಪನ್ನದ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಗುಣವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಬಹುದು. x ಸಂಭಾವ್ಯತಾವಿಚರ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು (ನಾರ್ಮಲ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್) ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ ಎನ್ನೋಣ. ಇದರ ಮಧ್ಯಮ a ಇದ್ದು ಶಿಷ್ಟವಿಚಲನೆ (ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಡೀವಿಯೇಷನ್) σ ಇದ್ದರೆ $u={\frac {1}{2}}(x-a)^{2}/\sigma ^{2}$ ಎಂಬ ಒಂದು ಹೊಸ ವಿಚರವನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ. x ನ ವ್ಯಾಪ್ತಿ $-\infty$ ದಿಂದ $+\infty$ದ ವರೆಗೆ ಇರುವುದು. ಆದರೆ u ವಿನ ವ್ಯಾಪ್ತಿ 0 ಯಿಂದ $+\infty$ ದ ವರೆಗೆ ಇರುವುದು. ಇವನ್ನು ಲಕ್ಷ್ಯದಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಂಡು u ವಿಚರದ ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಗಣಿಸಲಾಗಿ $e^{-u}u^{-{\frac {1}{2}}}/\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)$ ದೊರೆಯುವುದು. ಇದರಿಂದಾಗಿ u ಎಂಬುದು ಪ್ರಾಚಲ 1/2 ಇರುವ ಗ್ಯಾಮವಿಚರ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಈ ಫಲಿತವನ್ನು ಹೀಗೆ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು: ಮಧ್ಯಮ a ಮತ್ತು ಶಿಷ್ಟವಿಚಲನೆ σ ಇರುವ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಮೇರೆಗೆ x ನ ಸಂಭಾವ್ಯತಾವಿಚರ ಹರವಿದ್ದಾಗ $u={\frac {(x-a)^{2}}{2\sigma ^{2}}}$ ಎಂಬುದು ಪ್ರಾಚಲ ${\frac {1}{2}}$ ಇರುವ ಗ್ಯಾಮವಿಚರವಾಗಿರುವುದು. ಇದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾದ ಫಲಿತ.

ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆಯ ಘೂರ್ಣ ಜನಕ ಉತ್ಪನ್ನ (ಮೊಮೆಂಟ್ ಜನರೇಟಿಂಗ್ ಫಂಕ್ಷನ್)

$M(h)=\int \limits _{0}^{\infty }e^{hx}G(x)\,dx$

ಇದರಲ್ಲಿ 0<h<1 ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು (1-h)x = u ಎಂದು ಆದೇಶಿಸಿದರೆ M(h) = (1-h)^-a ಎಂದಾಗುವುದು, ಹಾಗೂ ಇದರ ಲಕ್ಷಣ ಉತ್ಪನ್ನ (ಕ್ಯಾರೆಕ್ಟರಿಸ್ಟಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್)

$C(h)=\int \limits _{0}^{\infty }e^{ihx}G(x)\,dx=(1-ih)^{-1}=1+iah+{\frac {i^{2}h^{2}}{2!}}a(a+1)+\cdots$

ಈ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಂದ ವಿತರಣೆಯ ಘೂರ್ಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಇದೇ ರೀತಿ ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆಯ ಸಮಾಕಲಿತ (ಕ್ಯುಮ್ಯುಲೆಂಟ್) ಜನಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಗಣಿಸಲು

$k(h)=-a\log(1-ih)=a\left[ih+{\frac {(ih)^{2}}{2}}+{\frac {(ih)^{3}}{3}}+\cdots \right]$

ಆದ್ದರಿಂದ k₁ = a, k₂ = a, k₃ = 2a, k₄  = 6a, ... .., k_r = aΓ(r) ಈ ಸಾಮ್ಯಗಳಿಂದಲೂ ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆಯ ಮಧ್ಯಮಾನ (ಮೀನ್) ಮತ್ತು ವಿಚರಣೆ a ಗೆ ಸಮ ಎಂಬುದು ಕಾಣುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಚರಣೆಯ ಅಸಮ್ಮಿತಿ (ಸ್ಕ್ಯೂನೆಸ್) ${\frac {\kappa _{3}}{\kappa _{2}^{3/2}}}={\frac {2}{\sqrt {a}}}$ ಮತ್ತು ಶೃಂಗತೆ (ಕುರ್ಟೋಸಿಸ್) ${\frac {k_{4}}{k_{2}^{2}}}={\frac {6}{a}}$. ಪ್ರಾಚಲ ಹೆಚ್ಚಿದಂತೆಲ್ಲ ಈ ವಿತರಣೆ ಸಮಾಂಗ ವಿತರಣೆಯನ್ನು (ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್) ಸಮೀಪಿಸುವುದು.

ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆಗೂ χ² (ಕೈ-ಸ್ಕ್ವೇರ್) ವಿತರಣೆಗೂ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಉಂಟು. x₁, x₂, ... ..., x_n ಎಂಬವು ಶಿಷ್ಟ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಚರಗಳಾದರೆ (ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ನಾರ್ಮಲ್ ವೇರಿಯೇಟ್ಸ್) ಇವುಗಳ ವರ್ಗಸಂಕಲನವನ್ನು χ² ಪ್ರತೀಕದಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಂದರೆ χ² = x₁² + x₂² + ... + x_n². ಇಲ್ಲಿ n ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಾಂಕ (ಡಿಗ್ರಿ ಆಫ್ ಫ್ರೀಡಮ್). ಇದು ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರಬೇಕು (positive integer). x_i ಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿ $-\infty$ ದಿಂದ $+\infty$ ದ ವರೆಗೆ ಇದ್ದು χ² ದ ವ್ಯಾಪ್ತಿ 0 ಯಿಂದ $+\infty$ ದ ವರೆಗೆ ಇರುವುದು. ${\frac {\chi ^{2}}{2}}=z$ ಎಂದು ಪರಿವರ್ತಿಸಿದರೆ z ವಿಚರದ ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ಸಾಂದ್ರತೆ ${\frac {e^{-z}z^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}$ ಎಂದಾಗುವುದು. ಇದರಿಂದ z ವಿಚರದ ವಿತರಣೆ ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆ ಆಗಿರುವುದೆಂದೂ, ಅದರ ಪ್ರಾಚಲ ${\frac {n}{2}}$ ಇರುವುದೆಂದೂ ತಿಳಿಯಬರುತ್ತದೆ. z ವಿಚರದ ಪ್ರಾಚಲ χ² ವಿಚರದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಾಂಕದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಇರುವುದು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟ. ಅಂದರೆ ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ z ವಿಚರದ ಪ್ರಾಚಲ ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಆರ್ಧದಷ್ಟಿದ್ದಾಗ ಅದು χ² ವಿತರಣೆಯೊಡನೆ ಅಭಿನ್ನವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವುದು.

ಗ್ಯಾಮವಿಚರಗಳ ಸಂಕಲನ

ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ಹಲವು ಗ್ಯಾಮ ವಿಚರಗಳ ಸಂಕಲನದ ಕೆಲವು ಗುಣಗಳನ್ನು ಈಗ ವಿವೇಚಿಸೋಣ. x,y ಎಂಬವು ಸ್ವತಂತ್ರ ಗ್ಯಾಮವಿಚರಗಳಾಗಿದ್ದು ಅವುಗಳ ಪ್ರಾಚಲಗಳು a, b ಆಗಿರಲಿ. u = x+y ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ u ವಿಚರ (a+b) ಪ್ರಾಚಲದ ಗ್ಯಾಮವಿಚರವಾಗುವುದು. ಇದರ ವಿಲೋಮ ಕೂಡ ಸಾಧು. ಅಂದರೆ ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ಎರಡು ಧನವಿಚರಗಳ ಮೊತ್ತ a+b ಪ್ರಾಚಲದ ಗ್ಯಾಮವಿಚರವಾಗಿದ್ದು ಅವುಗಳಲ್ಲೊಂದು a ಪ್ರಾಚಲದ ವಿಚರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಚರ b ಪ್ರಾಚಲದ ಗ್ಯಾಮವಿಚರವಾಗಿರುವುದು. ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ವಿಲೋಮ ಪ್ರಮೇಯದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಿಸಬಹುದು. x₁, x₂ ,... ..., x_n ಎಂಬವು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರ ಗ್ಯಾಮವಿಚರಗಳಾಗಿದ್ದು ಅವುಗಳ ಪ್ರಾಚಲಗಳು a₁, a₂, ... ..., a_n ಆಗಿದ್ದರೆ u = x₁ + x₂ + ... + x_n ಎಂಬ ವಿಚರದ ವಿತರಣೆ a₁ + a₂ + ... + a_n ಪ್ರಾಚಲದ ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆ ಆಗಿರುವುದು. ಈ ಗುಣಕ್ಕೆ ಪ್ರಜನನ ಗುಣ (ರಿಪ್ರೊಡಕ್ಟಿವ್ ಪ್ರಾಪರ್ಟಿ) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಅಂದರೆ ಗ್ಯಾಮವಿತರಣೆಗೆ ಪ್ರಜನನ ಗುಣ ಉಂಟೆಂದಂತಾಯಿತು.

ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗೂ, ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆಗೂ ಇರುವ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿಕೊಂಡು ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೀಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು: x_i (i = 1, 2, ... ..., n) ಎಂಬ ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ವಿಚರಗಳ ವಿತರಣೆಗಳು ಮಧ್ಯಮಾನ (ಮೀನ್) ಸೊನ್ನೆಯುಳ್ಳ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗಳಾಗಿದ್ದು ಅವುಗಳ ಶಿಷ್ಟವಿತರಣೆಗಳು σ_i ಇದ್ದರೆ $\chi ^{2}={\frac {\sum x_{i}^{2}}{\sigma _{i}^{2}}}$ ಎಂದಿಟ್ಟುಕೊಂಡಾಗ, ${\frac {1}{2}}\chi ^{2}$ ಎಂಬುದು ಪ್ರಾಚಲ ${\frac {1}{2}}n$ ಇರುವ ಗ್ಯಾಮವಿಚರವಾಗಿರುವುದು. ಇದರ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪಕ್ಷವಾಗಿ σ_i = 1 ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಹಿಂದೆ ಹೇಳಿದ χ² ವಿಚರದ ವಿತರಣೆ ದೊರೆಯುವುದು. ಅಂದರೆ χ² ಎಂಬುದು n ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ಶಿಷ್ಟಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಚರಗಳ ವರ್ಗ ಸಂಕಲನಕ್ಕೆ ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ, ${\frac {1}{2}}\chi ^{2}$ ಸಂಭಾವ್ಯತಾವಿಚರ ಪ್ರಾಚಲ ${\frac {1}{2}}n$ ಇರುವ ಗ್ಯಾಮ ವಿಚರಣೆಯಾಗುವುದು.

ಬೀಟ ವಿತರಣೆಗಳೊಡನೆ ಸಂಬಂಧ

ಗ್ಯಾಮವಿಚರಕ್ಕೆ ಬೀಟ ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ವಿಚರಗಳೊಡನೆ ಕೆಲವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಂಬಂಧ ಉಂಟು. ಇವನ್ನು ಕೆಲವು ಪ್ರಮೇಯಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು.

x ಸಂಭಾವ್ಯತಾಚರದ ವ್ಯಾಪ್ತಿ 0 ಯಿಂದ 1 ರ ವರೆಗೆ ಇದ್ದು ಅದರ ಸಂಭಾವ್ಯತಾವಕಲ (ಪ್ರಾಬೆಬಿಲಿಟಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್) ${\frac {1}{\beta (a,b)}}x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,dx$ ಎಂದಿದ್ದರೆ x ನ್ನು ಮೊದಲನೆಯ ಜಾತಿಯ ಬೀಟ ವಿಚರ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ a, b ಗಳು ಧನವಾಗಿರಬೇಕು. ಇಂಥ ವಿಚರವನ್ನು β₁(a, b) ಸಂಭಾವ್ಯತಾವಿಚರ ಎಂದು ಪ್ರತೀಕಿಸುತ್ತೇವೆ. a, b ಗಳಿಗೆ ಈ ವಿತರಣೆಯ ಪ್ರಾಚಲಗಳೆಂದು ಹೆಸರು.

x, y ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರ ಗ್ಯಾಮ ವಿಚರಗಳಾಗಿದ್ದು ಅವುಗಳ ಪ್ರಾಚಲಗಳು a, b ಇದ್ದರೆ ${\frac {x}{(x+y)}}$ ಎಂಬುದು ಮೊದಲನೆಯ ಜಾತಿಯ ಬೀಟ ವಿಚರವಾಗಿರುವುದು; ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಾಚಲಗಳು a, b ಗಳಾಗಿರುವುವು. $u=x+y,v={\frac {x}{(x+y)}}$ ಎಂಬ ಪರಿವರ್ತನದಿಂದ ಇದನ್ನು ಸಾಧಿಸಬಹುದು. ಆಗ x = uv, y = u (1-v) ಎಂದಾಗುವುದು; ಮತ್ತು ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಜಕೋಬಿಯನ್ J = u ಇರುವುದು. x, y ಗಳ ಜಂಟಿಸಂಭಾವ್ಯತಾವಕಲ $\exp[-(x+y)]x^{a-1}y^{b-1}\,dx\,dy/\Gamma (a)\,\Gamma (b)$ ಇರುವುದು. u, v ವಿಚರಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿದಾಗ u, v ಗಳ ಜಂಟಿಸಂಭಾವ್ಯತಾವಕಲ

${\frac {e^{-u}u^{a+b-1}du}{\Gamma (a+b)}}{\frac {v^{a-1}(1-v)^{b-1}dv}{\beta (a,b)}}$

ಎಂದಾಗುವುದು. ಇದರಿಂದಾಗಿ u ವಿಚರ a+b ಪ್ರಾಚಲದ ಗ್ಯಾಮವಿಚರವಾಗಿರುವುದೆಂದೂ, v ವಿಚರ a, b ಪ್ರಾಚಲಗಳ ಮೊದಲನೆಯ ಜಾತಿಯ ಬೀಟ ವಿಚರವಾಗಿರುವುದೆಂದೂ ಸಿದ್ಧವಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಗ್ಯಾಮವಿಚರಗಳ ಮೊತ್ತ ಗ್ಯಾಮವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪಾಲಿಸುವುದೆಂದೂ, ಅದರ ಪ್ರಾಚಲ ದತ್ತ ವಿಚರಗಳ ಪ್ರಾಚಲಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮವಾಗಿರುವುದೆಂದೂ ಹಿಂದೆ ಹೇಳಲಾಗಿದೆ. ಅದಕ್ಕೆ ಈಗ ಉಪಪತ್ತಿ ದೊರೆತಂತಾಯಿತು.

ಪ್ರಮೇಯ

ಮೇಲೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಂಭಾವ್ಯತಾವಕಲದಿಂದ ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಧಿಸಬಹುದು: ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ β₁(a, b) ಮತ್ತು Γ(a+b) ವಿಚರಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ Γ(a) ವಿಚರವಾಗಿರುವುದು a, b ಗಳು ಧನಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದು ಧನ ಸಂಭಾವ್ಯತಾವಿಚರ x ನ ಸಂಭಾವ್ಯತಾವಕಲ ${\frac {1}{\beta (a,b)}}.{\frac {x^{b-1}\,dx}{(1+x)a+b}}$ ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ x ನ್ನು ಎರಡನೆಯ ಜಾತಿಯ ಬೀಟ ವಿಚರ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಪ್ರಾಚಲಗಳು a, b ಇರುವ ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಗ್ಯಾಮವಿತರಣೆಗಳ ನಿಷ್ಪತ್ತಿಯ ವಿತರಣೆ a, b ಪ್ರಾಚಲಗಳುಳ್ಳ ಎರಡನೆಯ ಜಾತಿಯ ಬೀಟ ವಿತರಣೆಯಾಗಿರುವುದು. ದತ್ತ ಗ್ಯಾಮವಿಚರಗಳು x, y ಆಗಿರಲಿ. $u=x+y,v={\frac {x}{y}}$ ಎಂಬ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಲಾಗಿ ಜಕೋಬಿಯನ್ ${\frac {u}{(1+v)^{2}}}$ ಆಗುವುದು. x, y ಗಳ ಜಂಟಿ ಸಂಭಾವ್ಯತಾವಕಲವನ್ನು ಬರೆದು ವಿಚರಗಳ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಮಾಡಿದರೆ ವಾಂಛಿತಫಲ ಸಿದ್ಧಿಸುವುದು. ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ಗ್ಯಾಮ ವಿಚರಗಳ ಭಾಗಲಬ್ಧವನ್ನು ಸೂಕ್ತ ಸ್ಥಿರಾಂಕದಿಂದ (ಕಾನ್‍ಸ್ಟೆಂಟ್) ಗುಣಿಸಿದರೆ ದೊರೆವ ವಿಚರ ಸ್ನೆಡಕೋರ್ ಎಂಬಾತನ F ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ ${\frac {x}{y}}={\frac {aF}{b}}$ ಎಂದು ಪರಿವರ್ತನೆ ಮಾಡಲು $F={\frac {b}{a}}.{\frac {x}{y}}$ ಆಗುವುದು. ಇದರ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಫಿಷರನ ವಿಚರಣ-ನಿಷ್ಪತ್ತಿ ವಿತರಣೆ ಎಂದು ಸಹ ಕರೆಯುವರು. ವಿಚರಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಪರೀಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ F ವಿಚರದ ವಿತರಣೆ ಉಪಯೋಗವಾಗುತ್ತದೆ.

ಎರಡು ಪ್ರಾಚಲಗಳ ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆ

ಮೇಲೆ ಹೇಳಿರುವ ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆಗೆ ಒಂದೇ ಒಂದು ಪ್ರಾಚಲ ಇರುವುದು. ಇದನ್ನು ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಿಸಿ ಎರಡು ಪ್ರಾಚಲಗಳಿರುವ ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡಿರುವರು. ಇದರ ಸಂಭಾವ್ಯತಾಸಾಂದ್ರತೆ $G(x|\alpha ,a)={\frac {\alpha ^{a}}{\Gamma (a)}}e^{-\alpha x}\,x^{a-1},\alpha >0,a>0,0<x<\infty$. ಇದರಲ್ಲಿ α = 1 ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಏಕ ಪ್ರಾಚಲದ ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆ ದೊರೆಯುವುದು. ಎರಡು ಪ್ರಾಚಲಗಳ ಈ ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆಯ ಸಮಾಕಲಿತಗಳನ್ನು k₁, k₂,  ... ಎಂದು ಸೂಚಿಸಿದರೆ $k_{r}=a\Gamma (r)/\alpha ^{r}$ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು.

ಈ ಗ್ಯಾಮವಿಚರದ ವಿತರಣೆಯ ಉತ್ಪನ್ನ $F(x)={\frac {1}{\Gamma (a)}}\int \limits _{0}^{\alpha x}e^{-v}v^{a-1}\,dv$. ಇಲ್ಲಿ v = uα. ಇದು ಅಪೂರ್ಣ ಬೀಟ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ (incomplete beta function) ಸಂಬಂಧಿಸಿದ್ದಾಗಿದೆ. $\Gamma _{y}(a)=\int \limits _{0}^{y}e^{-v}v^{a-1}dx$ ಎಂಬ (y, a) ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಅಪೂರ್ಣ ಗ್ಯಾಮ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಪಿಯರ್ಸನ್ನನ ಕೋಷ್ಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಅಪೂರ್ಣ ಗ್ಯಾಮ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕೊಟ್ಟಿದೆ. ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿರುವ F(x) ನ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಈ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ನೋಡಿ ತಿಳಿಯಬಹುದು. ಅಪೂರ್ಣ ಗ್ಯಾಮ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೂ, ಪೂರ್ಣ ಗ್ಯಾಮ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೂ ಇರುವ ನಿಷ್ಪತ್ತಿಯನ್ನು I(u, a-1) ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಂದರೆ $I(u,a-1)=F_{y}(a)/\Gamma (a)$. ಇಲ್ಲಿ $u=ya^{-{\frac {1}{2}}}$. F(x) ನ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕೆಂದರೆ x ದತ್ತವಾದಾಗ $I\left(xa^{-{\frac {1}{2}}},a-1\right)$ ಇದರ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನೋಡಬೇಕು. x₁, x₂ ಸಂಭಾವ್ಯತಾವಿಚರಗಳ ವಿತರಣೆಗಳು $G(x_{1}|\alpha ,a_{1}),G(x_{2}|\alpha ,a_{2})$ ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ x₁ + x₂ ವಿಚರದ ವಿತರಣೆ $G(x_{1}+x_{2}|\alpha ,a_{1}+a_{2})$ ಇರುವುದೆಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಅಂದರೆ α ಪ್ರಾಚಲ ಬದಲಾಗದಿದ್ದಾಗ ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆಗೆ ಪ್ರಜನನ ಗುಣ ಇರುತ್ತದೆ.

ಬಹುವಿಚರ ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆ (ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ಗ್ಯಾಮ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್)

ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಏಕವಿಚರ ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಿದೆವು. ಇದನ್ನು ಬಹು ವಿಚರದ ಪಕ್ಷಕ್ಕೆ ಕೂಡ ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಿಸಬಹುದು. ಪೂರ್ವಭಾವಿಯಾಗಿ a ಯ p ದರ್ಜೆಯ ಪಲಮಡಿ ಗ್ಯಾಮ ಉತ್ಪನ್ನದ (ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಗ್ಯಾಮ ಫಂಕ್ಷನ್ ಆಫ್ ಆರ್ಡರ್ p) ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೊದಲು ಕೊಡುತ್ತೇವೆ. ಇದಕ್ಕೆ Γ_p(a) ಎಂಬ ಪ್ರತೀಕವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

$$\Gamma _{p}(a)=\prod _{j=0}^{p-1}\left[\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)(a-j/2)\right]=\pi ^{p(p-1)/4}\left\{\Gamma (a)\Gamma \left(a-{\frac {1}{2}}\right)\Gamma (a-1)\cdots \cdots \Gamma \left(a-{\frac {p-1}{2}}\right)\right\}$$

ಇದರಲ್ಲಿ p = 1 ಎಂದು ಆದೇಶಿಸಿದರೆ ಇದು ಸಾಧಾರಣ ಗ್ಯಾಮ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗುವುದು. A ಎಂಬುದು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಖಚಿತ ಧನ ನೈಜ pXp ಸಮಾಂಗ ಮಾತೃಕೆಯಾಗಿದ್ದು (ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್) X ಎಂಬುದು ವಿಚರಗಳ ಖಚಿತ ಧನ ನೈಜ pXp ಸಮಾಂಗ ಮಾತೃಕೆ ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ

$\int \limits _{X>0}-tr\,AX|X|^{a-{\frac {1}{2}}(p+1)}\,dX,a>{\frac {1}{2}}(p+1)$

ಎಂಬ ಅನುಕಲದ ಬೆಲೆ $\Gamma _{p}(a)||A|^{a}$ ಇರುವುದು. ಇದಕ್ಕೆ ಸೀಗಲನ ಉಪಪ್ರಮೇಯ (ಲೆಮ್ಮ) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇಲ್ಲಿ tr AX ಎಂಬುದು AX ಮಾತೃಕೆಯ ಟ್ರೇಸ್ ಅಥವಾ ಪ್ರಧಾನ ಕರ್ಣದ (prinicipal diagonal) ಮೇಲಿರುವ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ. ಸಂಭಾವ್ಯತಾವಿಚರಗಳ ಮಾತೃಕೆ X ಇರಲಿ; ಮತ್ತು ಇದರ ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ಸಾಂದ್ರತೆ

${\frac {|A|^{a}}{\Gamma _{p}(a)}}e^{-tr(AX)}|X|^{a-{\frac {1}{2}}(p+1)}\,dX$

ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ ಪಲಮಡಿ ಗ್ಯಾಮ ವಿವರ್ತದಂತೆ X ನ ವಿತರಣೆ ಇರುವುದು ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು G(X|A,a) ಎಂಬ ಪ್ರತೀಕದಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದರಲ್ಲಿ A=I ಇದ್ದಾಗ ಇದರ ವಿಶಿಷ್ಟ ರೂಪ G(X|I,a) ಆಗುವುದು.

ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಾಂಕ n ಇದ್ದು ಸಹವಿಚರಣೆ ಮಾತೃಕೆ (ಕೋವೇರಿಯೆನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್) Σ ಇರುವ S ನ ವಿಷಾರ್ಟ್ ವಿತರಣೆ ಹೀಗಿರುವುದು:

$$G\left(S,{\frac {1}{2}},\Sigma ^{-1},{\frac {n}{2}}\right)={\frac {1}{_{2}np/2|\Sigma |^{n/2}\Gamma _{p}\left({\frac {n}{2}}\right)}}\times \exp \left[-{\frac {1}{2}}tr\Sigma ^{-1}S\right]|S|(n-p-1)/2\,dS$$ಆದ್ದರಿಂದ S ನ ವಿತರಣೆ ಪಲಮಡಿ ಗ್ಯಾಮ ವಿವರ್ತದಂತಿರುವುದು ಎಂದು ಗೊತ್ತಾಗುತ್ತದೆ.

ಏಕವಿವರ್ತ ಗ್ಯಾಮವಿತರಣೆಯ ಗುಣಗಳಿಗೆ ಸಂವಾದಿಯಾದ ಗುಣಗಳು ಪಲಮಡಿ ಗ್ಯಾಮ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ ಇವೆ. X,Y ಎಂಬುದು G(A,a), G(A,b) ಪಲಮಡಿ ಗ್ಯಾಮ ವಿವರ್ತಗಳಾದರೆ U=X+Y ಎಂಬುದು G(A,a+b) ಎಂಬ ಪಲಮಡಿ ಗ್ಯಾಮ ವಿವರ್ತವಾಗಿರುವುದು. ಇದರಂತೆಯೇ $V=(X+Y)^{-{\frac {1}{2}}}\times (X+Y)^{-{\frac {1}{2}}}$ಎಂಬುದು ಪಲಮಡಿ ಬೀಟ ವಿವರ್ತವಾಗಿರುವುದು. ಪಲಮಡಿ ಬೀಟ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಕಾಣಿಸಿದ ಎರಡು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ರೀತಿಯಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ಮಾಡಬಹುದು.

$B_{p}(a,b)=\int \limits _{0}^{I}|X|^{a-{\frac {1}{2}}(p+1)}|I-X|^{b-{\frac {1}{2}}(p+1)}\,dX$

ಅನುಕಲದ ಕೆಳಗಣ ಪರಿಮಿತಿ 0 ಎಂದರೆ X > 0 ಎಂದರ್ಥ, ಎಂದರೆ X ಎಂಬುದು ಧನ ಖಚಿತ ಮಾತೃಕೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಣ ಪರಿಮಿತಿ I ಎಂದರೆ I-X ಎಂಬ ಮಾತೃಕೆ ಧನ ಖಚಿತವಾದದ್ದು ಎಂದರ್ಥ. ಹಾಗೂ $a>{\frac {1}{2}}(p-1),b>{\frac {1}{2}}(p-1)$ . ಇದಕ್ಕೆ p- ಮಡಿ ಬೀಟ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇದನ್ನೇ ಮತ್ತೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಬಹುದು.

$B_{p}(a,b)=\int {\frac {|Y|^{a-{\frac {1}{2}}(p+1)}}{|I+y|^{a+b}}}\,dY,Y>0,a>{\frac {1}{2}}(p-1),b>{\frac {1}{2}}(p-1)$

ಪಲಮಡಿ ಗ್ಯಾಮ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೂ, ಪಲಮಡಿ ಬೀಟ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೂ ಇರುವ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೀಗೆ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು.

$B_{p}(a,b)={\frac {\Gamma _{p}(a)\Gamma _{p}(b)}{\Gamma _{p}(a+b)}}$

ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ

• Johnson, N.L., Kotz, S., Balakrishnan, N. (1995). Continuous Univariate Distributions, Volume 2 (2nd Edition), Wiley. ISBN 0-471-58494-0