ಗ್ಯಾಮ ಉತ್ಪನ್ನ

ಗ್ಯಾಮ ಉತ್ಪನ್ನ ಎನ್ನುವುದು ಅನಂತ ಅನುಕಲ

$\Gamma (z)=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z-1}\ dt$

ಎಂಬುದರ ಹೆಸರು. ಆಯ್ಲರನ ದ್ವಿತೀಯ ಅನುಕಲ ಎಂಬ ಹೆಸರು ಕೂಡ ಉಂಟು. z ನ ಎಲ್ಲ ಧನ ನೈಜ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ (positive real numbers) ಇದು ಅಭಿಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಮುಖ್ಯ ಗುಣಗಳು

ಇದರ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು:

1. $\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)$

2. $\Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin \pi z}}$

3. $\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}$

z=n ಎಂಬ ಒಂದು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ (positive integer) $\Gamma (n)=(n-1)!$ ಹೀಗಾಗಿ ಗ್ಯಾಮ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹಲವಾರು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಗುಣಿತ ಉತ್ಪನ್ನ (ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್) ಎಂಬುದಾಗಿ ಸಹ ಕರೆಯುವುದುಂಟು.

ಗ್ಯಾಮ ಉತ್ಪನ್ನದ ಆವಶ್ಯಕತೆ

ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಥವಾ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಕ್ರಮಗುಣಿತದ (ಕಂಟಿನ್ಯೂಡ್ ಪ್ರೋಡಕ್ಟ್) ಭಾವನೆಯನ್ನು ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಿಸುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಗ್ಯಾಮ ಉತ್ಪನ್ನದ ಆವಶ್ಯಕತೆ ಕಂಡುಬಂದಿತು. ಇದು ಹೇಗೆ ಎನ್ನುವುದನ್ನು ಮುಂದೆ ವಿಶದೀಕರಿಸಿದೆ.

$\int \limits _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z}\ dt$

ಎಂಬ ಅನುಕಲವನ್ನು ಗಮನಿಸೋಣ. ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅನುಕಲನ ಪರಿಮಿತಿ ಅನಂತ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಒಂದು ಅನುಚಿತ ಅನುಕಲ (ಇಂಪ್ರಾಪರ್ ಇಂಟೆಗ್ರಲ್). z = n ಎಂಬ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ ಈ ಅನುಚಿತ ಅನುಕಲದ ಬೆಲೆ n! ಆಗುತ್ತದೆ ಎನ್ನುವುದನ್ನು ವಾಸ್ತವಿಕ ಅನುಕಲನದಿಂದ ತಿಳಿಯಬಹುದು. z ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲದೆ ಬೇರೆ ಒಂದು ನೈಜಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗ, ಕ್ರಮಗುಣಿತವಾದ n! (ಅಂದರೆ z!) ಅರ್ಥರಹಿತವಾಗುವುದು. ಎಲ್ಲ ನೈಜಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೂ ಈ ಕ್ರಮಗುಣಿತದ ಭಾವನೆಯನ್ನು ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಣ ಮಾಡುವ ಬಗೆ ಹೇಗೆ?

$\int \limits _{0}^{\infty }e^{-t}t^{n}\ dt=n!$ (n ಒಂದು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ)

ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ n ನ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ z ಎಂಬ ನೈಜಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿ z ಯಾವ ನೈಜಸಂಖ್ಯೆಯೇ ಆಗಿರಲಿ z! ಎಂಬ ಕ್ರಮಗುಣಿತಕ್ಕೆ

$z!=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z}\ dt$

ಎಂಬ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುವುದೇನೋ ಸಹಜವಾದ ಕ್ರಮವೇ ಆಗಿದೆ. ಇದರ ಬದಲು

$\int \limits _{0}^{\infty }e^{-t}t^{n-1}\ dt=(n-1)!$

ಆದ್ದರಿಂದ ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ n ನ ಬದಲು z ಅನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿ ಇದರ ಬೆಲೆಯನ್ನು (z - 1)! ಎಂದು ಸೂಚಿಸುವ ಬದಲು Γ(z) (ಗ್ಯಾಮ z) ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

$\Gamma (z)=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z-1}\ dt$

ಇಲ್ಲಿ z ಒಂದು ನೈಜಸಂಖ್ಯೆ.

ಯಾವ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಸ್ತಿತ್ವವಿರುವುದು

z ನ ಯಾವ ಯಾವ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ಈ ಅನುಚಿತ ಅನುಕಲ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಈಗ ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

(z - 1) < 0 ಮತ್ತು t → 0 ಆದಾಗ t^z-1 → 0 ಆಗುವುದರಿಂದ e^-t t^z-1 ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ t = 0 ಎಂಬುದೂ ಒಂದು ಅನಂತವಿಚ್ಛಿನ್ನತಾ ಬಿಂದು.

$\therefore \int \limits _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z-1}\ dt=\lim _{\epsilon \to 0}\int \limits _{z}^{1}e^{-t}t^{z-1}\ dt\ +\lim _{\epsilon \to \infty }I_{1}\int \limits _{1}^{\delta }e^{-t}t^{z-1}\ dt\equiv \lim _{\epsilon \to 0}I_{1}+\lim _{\delta \to 0}I_{2}$ ..............(1)

ಇಲ್ಲಿ $I_{1}=\int \limits _{\epsilon }^{1}e^{-t}t^{z-1}\ dt$

$I_{2}=\int \limits _{1}^{\delta }e^{-t}t^{z-1}\ dt$

(1) ರಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಪರಿಮಿತಿಗಳೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ

$\Gamma (z)=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z-1}\ dt$

ಈ ಅನುಚಿತ ಅನುಕಲ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವುದು.

(a) t > 0 ಆದಾಗ $e^{-t}={\frac {1}{e^{t}}}<1$ ಆಗುವುದರಿಂದ

$I_{1}=\int \limits _{\epsilon }^{1}e^{-t}t^{z-1}\ dt>\int \limits _{\epsilon }^{1}1.t^{z-1}\ dt=\int \limits _{\epsilon }^{1}t^{z-1}\ dt=\left[{\frac {t^{z}}{z}}\right]_{\epsilon }^{1}={\frac {1}{z}}-{\frac {\epsilon ^{z}}{z}}<{\frac {1}{z}}$

ಆದ್ದರಿಂದ I₁ ರ ಉಚ್ಚ ಪರಿಬಂಧ 1/z ಆಗಿರುವುದು. ಅಲ್ಲದೆ z ನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿಟ್ಟು ε ನ್ನು ಕ್ರಮೇಣ ಶೂನ್ಯದತ್ತ ಸಾಗುವಂತೆ ಮಾಡಿದರೆ $(\epsilon >0)\ {\frac {1}{z}}-{\frac {\epsilon ^{z}}{z}}$ ನ ಬೆಲೆ ಏಕತಾನವಾಗಿ ವರ್ಧಿಸುವುದರಿಂದಲೂ I₁ < 1/z ಆಗುವುದರಿಂದಲೂ

$\lim _{\epsilon \to 0}I_{1}$

ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವುದು.

(b) t > 0 ಆದಾಗ

$e^{t}=1+t+{\frac {t^{2}}{2!}}+{\frac {t^{3}}{3!}}+\cdots +{\frac {t^{n}}{n!}}+\cdots$

ಈ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವೂ ಒಂದು ಧನಸಂಖ್ಯೆ. ಆದ್ದರಿಂದ

$e^{t}>{\frac {t^{n}}{n!}}$  ಅಥವಾ ${\frac {1}{e^{t}}}<{\frac {n!}{t^{n}}}$

ಅಂದರೆ $e^{-t}<{\frac {n!}{t^{n}}}$

$\therefore e^{-t}t^{z-1}<{\frac {n!\ t^{z-1}}{t^{n}}}$

ಅಥವಾ $e^{-t}t^{z-1}<{\frac {n!}{t^{n-z+1}}}$

$I_{2}=\int \limits _{1}^{\delta }e^{-t}t^{z-1}\ dt<n!\int \limits _{1}^{\delta }{\frac {dt}{t^{n-z+1}}}$

$={\frac {n!}{n-z}}\left\{1-{\frac {1}{\delta ^{n-z}}}\right\}$

$\therefore I_{2}<{\frac {n!}{n-z}},$  ಇಲ್ಲಿ n > z+1

z ನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರಿಸಿ δ ದ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಅನಂತದತ್ತ ಸಾಗುವಂತೆ ಮಾಡಿದಾಗ 1 - 1/δ^n-z ನ ಬೆಲೆ ಏಕತಾನವಾಗಿ ವರ್ಧಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ I₂ ರ ಬೆಲೆಯೂ ಏಕತಾನವಾಗಿ ವರ್ಧಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಇದರ ಒಂದು ಉಚ್ಚ ಪರಿಬಂಧ ${\frac {n!}{n-z}}$ ಆಗುವುದು. $\left(I_{2}<{\frac {n!}{n-z}}\right),$ ಆದ ಕಾರಣ $\lim _{\delta \to \infty }I_{2}$ ಪರಿಮಿತಿ ಕೂಡ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವುದು. ಆದ್ದರಿಂದ

$\Gamma (z)=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z-1}\ dt$

ಎಂಬ ಅನುಚಿತ ಅನುಕಲ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವುದು.

ಈಗ $\Gamma (z)=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z-1}\ dt$ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ

$\Gamma (z+1)=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z}\ dt$ 

ಈಗ $\int \limits _{\epsilon }^{\delta }e^{-t}t^{z}\ dt$ ಎಂಬ ಈ ಅನುಕಲವನ್ನು ಭಾಗಶಃ ಅನುಕಲಿಸಿದರೆ

$\int \limits _{\epsilon }^{\delta }e^{-t}t^{z}\ dt=\left[-e^{-t}t^{z}\right]_{\epsilon }^{\delta }+z\int \limits _{\epsilon }^{\delta }e^{-t}t^{z-1}\ dt$

$\left[{\frac {\epsilon ^{z}}{e^{\epsilon }}}-{\frac {\delta ^{z}}{e^{\delta }}}\right]+z\int \limits _{\epsilon }^{\delta }e^{-t}t^{z-1}\ dt$

ಹಿಂದಿನಂತೆ ${\frac {1}{e^{\delta }}}<{\frac {n!}{\delta ^{n}}}$ ಮತ್ತು ${\frac {\delta ^{z}}{e^{\delta }}}<{\frac {n!}{\delta ^{n-z}}}$ ಮತ್ತು $\lim _{\delta \to \infty }{\frac {n!}{\delta ^{n-z}}}=0,\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {\epsilon ^{x}}{e^{\epsilon }}}=0$

ಆದ್ದರಿಂದ $\epsilon \to 0,\delta \to \infty$ ಆದಾಗ ಪರಿಮಿತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ

$\Gamma (z+1)=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z}\ dt=z\int \limits _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z-1}\ dt$

ಆದ್ದರಿಂದ $\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)$ ............ (2)

ಇದು Γ(z) ಉತ್ಪನ್ನದ ಅತಿ ಮುಖ್ಯವಾದ ಲಕ್ಷಣ. ಕ್ರಮಗುಣಿತದ ಭಾವನೆಯ ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಣದಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸಿದ ಈ Γ(z) ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಕ್ರಮಗುಣಿತಗಳ ಪ್ರಮುಖ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿ n! = n X (n - 1)! ಎಂಬ ಲಕ್ಷಣಕ್ಕೆ ಹೋಲುವ Γ(z + 1) = zΓ(z) ಎಂಬ ಲಕ್ಷಣವಿದೆ.

ಈಗ Γ(z) ನ ಬೆಲೆ 0 < x ≤ 1 ಅಂತರದಲ್ಲಿ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ (2) ರ ಸಹಾಯದಿಂದ 1 < x ≤ 2 ಅಂತರದಲ್ಲಿ Γ(z) ನ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಇದರಿಂದ 2 < x ≤ 3 ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಇದರ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಹೀಗೆಯೇ z ನ ಎಲ್ಲ ನೈಜದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೂ Γ(z) ನ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಧ್ಯ.

(2)ರ ಸಹಾಯದಿಂದ

Γ(z + n) = (z+n-1) Γ(z+n-1)

= (z+n -1) (z+n - 2) Γ(z+n - 2)

= ...............

= (z+n -1) (z+n - 2) ... ... (z+1) zΓ(z) .............. (3)

(3) ನೆಯ ಸಮೀಕರಣ n ಎಂಬ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೂ ನಿಜ.

z ಋಣ ನೈಜಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ

ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ z ಧನ ನೈಜಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗ ಮಾತ್ರ Γ(z) ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮಾಡಿದಂತಾಯಿತು. ಋಣ ನೈಜಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆಯೂ Γ(z) ನ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯನ್ನು ಈಗ ನಾವು ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು.

-n < z < -n + 1 (ಇಲ್ಲಿ n ಒಂದು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ) ಆದಾಗ Γ(z) ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

$\Gamma (n)={\frac {1}{z(z+1)(z+2)\cdots (z+n-1)}}\Gamma (z+n)$ ............... (4)

ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಗೆ ಆಧಾರ (3) ನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು.

Γ(n) < z < -n + 1

ಆದಾಗ 0 < z + n < 1 ಆಗುವುದು. ಆದ್ದರಿಂದ Γ(z + n) ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ನಾವು ಆಗಲೇ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ (4) ನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಮಾಡಿರುವ Γ(n) ನ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ಸರಿಯಾಗಿಯೇ ಇದೆ.

ಆದರೆ (4) ರ ಪ್ರಕಾರ z = 0 ಆದಾಗ, ಅಥವಾ z ಒಂದು ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ (4) ರ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಛೇದ ಶೂನ್ಯವಾಗುವುದರಿಂದ z ನ ಈ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ Γ(z) ವ್ಯಾಖ್ಯಿತವಾಗಿಲ್ಲ.

ಅದ್ದರಿಂದ $\Gamma (1)=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-t}\ dt=1$ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು.

ಕೆಲವು ಮುಖ್ಯವಾದ ಲಕ್ಷಣಗಳು

Γ(z) ನ ಕೆಲವು ಮುಖ್ಯವಾದ ಲಕ್ಷಣಗಳು:

1. $\Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}.n!}{z(z+1)\cdots (z+n)}}$

2. $\Gamma (z)=e^{-Cz}{\frac {1}{z}}\prod \limits _{i=1}^{\infty }{\frac {e^{\frac {z}{i}}}{1+{\frac {z}{i}}}}$

ಇಲ್ಲಿ $C=\lim _{n\to \infty }\left[1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}-\log n\right]$

C ಗೆ ಆಯ್ಲರನ ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಎಂದು ಹೆಸರು.

3. Γ(z) ಗೆ ಆಯ್ಲರನ ದ್ವಿತೀಯ ಅನುಕಲ ಎಂಬ ಹೆಸರಿರುವುದನ್ನು ಹಿಂದೆ ಹೇಳಿದೆ. ಆತನ ಹೆಸರಿನ ಪ್ರಥಮ ಅನುಕಲಕ್ಕೆ ಬೀಟ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಅದರ ನಿರೂಪಣೆ ಹೀಗಿದೆ:

$B(x,y)=\int \limits _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\ dt$

ಈಗ ಇವೆರಡು ಅನುಕಲಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೀಗಿದೆ.

$\mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}$

ಇಲ್ಲಿ $x={\frac {1}{2}},y={\frac {1}{2}}$ ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ

$\mathrm {B} ({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}})={\frac {\left[\Gamma ({\frac {1}{2}}\right]^{2}}{\Gamma (1)}}$

ಆದರೆ $\mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)=\pi$ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು.

ಅಲ್ಲದೇ Γ(1) = 1 ಆಗಿದೆ.

$\therefore \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}$ ಆಗುವುದು.

ಈಗ Γ(z + 1) = z Γ(z) ಸಮೀಕರಣದ ಸಹಾಯದಿಂದ n ಒಂದು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗಲೆಲ್ಲ Γ(n + 1/2) ದ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

4. z ನ ಅತಿ ದೊಡ್ಡ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ಸರಿಹೊಂದುವ ಸಮೀಕರಣಗಳು:

$\Gamma (z)={\sqrt {2\pi }}\,z^{z-{\frac {1}{2}}}e^{-z}+\mu (z)$ ...................................(1)

ಇಲ್ಲಿ $\mu (z)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(z+n+{\frac {1}{2}}\right)\log \left(1+{\frac {1}{z+n}}\right)-1={\frac {\theta }{12z}},0<\theta <1$ ..............................(2)

ಮತ್ತು $n!={\sqrt {2\pi }}\,n^{n+{\frac {1}{2}}e^{-n}+{\frac {\theta }{12n}}}$ ......................................(3)

$\Gamma \left({\frac {z}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {z+1}{2}}\right)\cdots \Gamma \left({\frac {z+p-1}{p}}\right)={\frac {(2\pi )^{\frac {p-1}{2}}}{p^{z-{\frac {1}{2}}}}}\Gamma (z)$ ....................................(4)

ಇಲ್ಲಿ p ಒಂದು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ. p = 2 ಆದಾಗ ಈ ಫಲಿತಾಂಶ ತಾಳುವ ರೂಪ

$\Gamma \left({\frac {z}{p}}\right)\Gamma \left({\frac {z+1}{p}}\right)\cdots {\frac {\sqrt {\pi }}{2^{z-1}}}\Gamma (z)$ ................................(5)

(1), (2), (3)ಗಳು z ನ ಅತಿ ದೊಡ್ಡ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ Γ(z) ನಡೆದುಕೊಳ್ಳುವ ರೀತಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ. ಇವುಗಳಿಗೆ ಸ್ಟರ್ಲಿಂಗನ ಸೂತ್ರಗಳು ಎಂದು ಹೆಸರು. p(z) ನ ಸರಿಸುಮಾರು ಬೆಲೆಯನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿದರೆ, z ಹೆಚ್ಚಿದಂತೆಲ್ಲ Γ(z) ನ ಬೆಲೆಗಳು ಯಥಾರ್ಥ ಬೆಲೆಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮೀಪ್ಯದಲ್ಲಿರುವುವು. (4)ಕ್ಕೆ ಗೌಸನ ಸೂತ್ರ (ಆತ ಆವಿಷ್ಕರಿಸಿದುದರಿಂದ) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇದರಲ್ಲಿ p = 2 ಆದಾಗ ಬರುವ (5)ಕ್ಕೆ ಲಝಾಂಡರನ ಸಂಬಂಧ ಎಂದು ಹೆಸರು.

5. Γ(z) ಮತ್ತು sin z ಗಳಿಗಿರುವ ಸಂಬಂಧ:

$\Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin \pi z}}$

ಇದರಲ್ಲಿ z = 1/2 ಆದೇಶಿಸಿದರೆ [Γ(1/2)]² = π ಅಥವಾ $\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}$ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಸಹಾಯದಿಂದ sinc ಉತ್ಪನ್ನದ ಅನಂತ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

${\frac {\sin \pi z}{\pi z}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)$