ಗೋಳತ್ರಿಕೋಣಮಿತಿ

ಗೋಳತ್ರಿಕೋಣಮಿತಿಯು ಗೋಳ ತ್ರಿಭುಜದ (spherical triangle) ಗುಣಗಳನ್ನು ಅಭ್ಯಸಿಸುವ ತ್ರಿಕೋಣಮಿತಿಯ ವಿಭಾಗ (ಸ್ಫೆರಿಕಲ್ ಟ್ರಿಗೊನೋಮೆಟ್ರಿ). ಖಗೋಳ ವಿಜ್ಞಾನದ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯವಿರುವ ಶಾಸ್ತ್ರವಿದು. ಇದರ ಅನ್ವಯ ಸರ್ವೇಕ್ಷಣೆ (ಸರ್ವೇಯಿಂಗ್), ನೌಕಾಯಾನ (ನೇವಿಗೇಷನ್), ಗಣಿತ ಮುಂತಾದ ಶಾಸ್ತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಉಂಟು.

ಗೋಳತ್ರಿಭುಜ

ಒಂದು ಗೋಳಕೇಂದ್ರದ (spherical centre) ಮೂಲಕ ಸಾಗುವ ಯಾವುದೇ ಮೂರು ಸಮತಲಗಳು ಆ ಗೋಳವನ್ನು ಮೂರು ಮಹಾವೃತ್ತಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ಇವುಗಳ ಕಂಸಗಳು ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈ ಮೇಲೆ ಸಂವೃತಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಗೋಳತ್ರಿಭುಜವೆಂದು ಹೆಸರು. ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಗೋಳತ್ರಿಭುಜದ ಭುಜಗಳು ಮಹಾವೃತ್ತಗಳ ಕಂಸಗಳು. ಇಂಥ ಒಂದು ತ್ರಿಭುಜ ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳ ಆಕಾಶದಲ್ಲಿ ನೆಲೆಸಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಇದರ ಆರು ಧಾತುಗಳು, ಸಮತಲ ತ್ರಿಭುಜದಂತೆಯೇ ಮೂರು ಭುಜಗಳು ಹಾಗೂ ಮೂರು ಕೋನಗಳು. ಆದರೆ ಈ ಧಾತುಗಳನ್ನು ಅಳೆಯುವ ರೀತಿ ಮಾತ್ರ ಬೇರೆ.

ಚಿತ್ರ ೧: ಏಕಮಾನ ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ಗೋಳದ ಮೂಲಭೂತ ತ್ರಿಭುಜ.

ಚಿತ್ರ ೧ ರಲ್ಲಿ ಏಕಮಾನ (1) ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ಒಂದು ಗೋಳವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದೆ. O ಬಿಂದು ಇದರ ಕೇಂದ್ರ. σ₁ ಒಂದು ಮಹಾವೃತ್ತ. A, B ಇದರ ಮೇಲಿನ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು. BC ಕಂಸ O ನಲ್ಲಿ ರಚಿಸುವ ಕೋನ α ಆಗಿರಲಿ. ಚಿತ್ರ ೧ ರಲ್ಲಿ σ₁, σ₂, σ₃ ಎಂಬ ಮೂರು ಮಹಾವೃತ್ತಗಳು ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈ ಮೇಲೆ ಸಂವೃತಿಸುವ ಗೋಳತ್ರಿಭುಜ ABC ಯನ್ನು ನೆರಳು ಮಾಡಿ ತೋರಿಸಿದೆ. ಈಗ ∠BOC= α, ∠COA=β, ∠AOB=γ ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ BC (=a), CA (=b), AB (=c) ಕಂಸಗಳ (ಅಂದರೆ ಗೋಳತ್ರಿಭುಜ ABC ಯ ಭುಜಗಳ) ಮಾಪನಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ α, β, γ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ a=α, b=β, c=γ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟ.

σ₂ ನೆಲೆಸಿರುವ ಸಮತಲ ಮತ್ತು σ₃ ನೆಲೆಸಿರುವ ಸಮತಲ ಇವುಗಳ ನಡುವಿನ ದ್ವಿತಲ ಕೋನವನ್ನು (ಎಂದರೆ A ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಆಯಾ ಸಮತಲಗಳಲ್ಲಿ CA ಮತ್ತು BA ಕಂಸಗಳಿಗೆ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ) ಶೃಂಗ A ಯಲ್ಲಿನ ಕೋನದ ಮಾಪನ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು A ಪ್ರತೀಕದಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದೇ ರೀತಿ σ₃, σ₁ ಸಮತಲಗಳ ನಡುವಿನ ದ್ವಿತಲ ಕೋನ B ಮತ್ತು σ₁, σ₂ ಸಮತಲಗಳ ನಡುವಿನ ದ್ವಿತಲ ಕೋನ C. ಹೀಗೆ ಗೋಳತ್ರಿಭುಜ ABC ಯ ಆರು ಧಾತುಗಳು a,b,c ಮತ್ತು A,B,C ಇವೆಲ್ಲವೂ ಕೋನಗಳೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು.

ಒಂದು ಗೋಳತ್ರಿಭುಜದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಭುಜದ ಉದ್ದ ಅರ್ಧವೃತ್ತಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ತ್ರಿಭುಜದ ಯಾವುದೇ ಕೋನ ಎರಡು ಲಂಬಕೋನಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಎಂಬುದು ಸಿದ್ಧಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾರ್ವತ್ರಿಕತೆಗೆ ಇದರಿಂದ ಏನೂ ಬಾಧಕವಿಲ್ಲ.

ಧ್ರುವೀಯ ತ್ರಿಭುಜ △A'B'C'

ಒಂದು ಮಹಾವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಅದರ ಕೇಂದ್ರದ ಮೂಲಕ ಎಳೆದ ಲಂಬವು ಗೋಳವನ್ನು ಸಂಧಿಸುವ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಆ ಮಹಾವೃತ್ತದ ಧ್ರುವಗಳು (poles). ಇವನ್ನು ಜೋಡಿಸುವ ರೇಖೆಗೆ (ಇದು ಗೋಳದ ಒಂದು ವ್ಯಾಸ) ಮಹಾವೃತ್ತದ ಅಕ್ಷವೆಂದು (axis) ಹೆಸರು. ಗೋಳತ್ರಿಭುಜ ABC ಯನ್ನು ಸಂವೃತಿಸುವ σ₁, σ₂, σ₃ ಎಂಬ ಮೂರು ಮಹಾವೃತ್ತಗಳ (ಅಂದರೆ BC, CA, AB ಕಂಸಗಳ) ಧ್ರುವಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ A^I,A^II : B^I,B^II : C^I,C^II ಆಗಿರಲಿ. ಇವುಗಳ ಪೈಕಿ A,B,C ಶೃಂಗಗಳ ಸಮೀಪ ಇರುವ ಧ್ರುವಗಳು A^I, B^I, C^I ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಈ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳು ರಚಿಸುವ ಗೋಳತ್ರಿಭುಜಕ್ಕೆ △ABC ಯ ಧ್ರುವೀಯ ತ್ರಿಭುಜ (ಪೋಲಾರ್ ಟ್ರ್ಯಾಂಗಲ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. △A'B'C' ಯ ಧ್ರುವೀಯ ತ್ರಿಭುಜ △ABC ಆಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಇವೆರಡು ಪರಸ್ಪರ ಧ್ರುವೀಯ ತ್ರಿಭುಜಗಳ ನಡುವೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳಿವೆ.

A' = π - a, a' = π - A

B' = π - b, b' = π - B

C' = π - c, c' = π - C

ಬಹು ಮುಖ್ಯ ಗುಣಗಳಿವು. ಒಂದು ತ್ರಿಭುಜದ ಭುಜಗಳನ್ನೂ, ಕೋನಗಳನ್ನೂ ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಭುಜ ಹಾಗೂ ಕೋನಗಳ ಬದಲು ಅವುಗಳ ಸರಳ ಪೂರಕಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಹೊಸತೊಂದು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಗೋಳತ್ರಿಭುಜದ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಗಳು

ಗೋಳತ್ರಿಭುಜದ ಕೆಲವು ಮುಖ್ಯ ಗುಣಗಳನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಬರೆದಿದೆ:

1. ಎರಡು ಭುಜಗಳ ಮೊತ್ತ ಮೂರನೆಯ ಭೂಜಕ್ಕಿಂತ ಅಧಿಕ (a + b > c, ಇತ್ಯಾದಿ).
2. ಮೂರೂ ಭುಜಗಳ ಮೊತ್ತ ಮಹಾವೃತ್ತದ ಪರಿಧಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ (a+b+c < 2π).
3. ಮೂರು ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ ಎರಡು ಲಂಬಕೋನಗಳಿಗಿಂತ ಅಧಿಕ, ಆದರೆ ಆರು ಲಂಬಕೋನಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ (π < A + B + C < 3π) ಮಹಾವೃತ್ತದ ಪರಿಧಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ.
4. ಸಮದ್ವಿಭುಜ ತ್ರಿಭುಜದ ಪಾದಕೋನಗಳು (ಬೇಸ್ ಅ್ಯಂಗಲ್ಸ್) ಸಮ; ಮತ್ತು ವಿಲೋಮವಾಗಿ ಕೂಡ.
5. △ABC ಯಲ್ಲಿ B > C ಆಗಿದ್ದರೆ b > c ಮತ್ತು ವಿಲೋಮವಾಗಿ ಕೂಡ.

ಗೋಳತ್ರಿಕೋಣಮಿತೀಯ ಸೂತ್ರಗಳು

ಕೊಸೈನುಗಳ ನಿಯಮ

a,b,c ಒಂದು ಗೋಳತ್ರಿಭುಜದ ಭುಜಗಳೂ, A,B,C ಈ ಭುಜಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ಅಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳೂ ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ

cos a = cos b cos c+sin b sin c cos A

cos b = cos c cos a+ sin c sin a cos B

cos c = cos a cos b+ sin a sin b cos C

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ b ಮತ್ತು c ಗಳು ಲಘುಕೋನಗಳೆಂದೂ (acute angles) ($<{\frac {\pi }{2}}$) ABC ಗೋಳ ತ್ರಿಭುಜ ಏಕಮಾನ ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ಗೋಳದ ಅಂಗವೆಂದೂ ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. AB ಕಂಸಗಳಿಗೆ A ಯಲ್ಲಿ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು OB ಮತ್ತು OC ಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ B' ಮತ್ತು C' ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ. ಆಗ ∆OB'C' ಮತ್ತು  ∆AB'C' ಗಳಿಂದ (ಇವು ಸಮತಲ ತ್ರಿಭುಜಗಳು.)

B'C'² = OC'² + OB'² - 2.OC'.OB'.cos a

= AC'² + AB'² - 2.AC'.AB'.cos A

ದೊರೆಯುತ್ತವೆ. ಅಲ್ಲದೇ ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಭುಜಗಳಾದ OAC' ಮತ್ತು OAB' ಗಳಿಂದ

OC' = sec b, OB' = sec c,

AC' = tan b, AB' = tan c

∴ sec² b + sec² c - 2 sec b sec c cos a = tan² b + tan² c - 2 tan b tan c cos A

ಇದನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಿದರೆ

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A ದೊರೆಯುತ್ತದೆ. ಇದೇ ರೀತಿ ಉಳಿದ ಎರಡು ರೂಪಗಳನ್ನು ಕೂಡ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಈ ಸಾಧನೆಯಲ್ಲಿ b ಮತ್ತು c ಗಳನ್ನು ಲಘುಕೋನಗಳೆಂದು ಆಯ್ದಿರುವುದು ಕೇವಲ ಸೌಕರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ. ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ಸತ್ಯವೆಂದು ಸಾಧಿಸುವುದು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.

ಗೋಳತ್ರಿಭುಜ ABC ಯ ಧ್ರುವೀಯ ತ್ರಿಭುಜ A'B'C' ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪ ಪಡೆಯುತ್ತವೆ:

$\cos(\pi -A')=\cos(\pi -B')\cos(\pi -C')+\sin(\pi -B')\times \sin(\pi -C')\cos(\pi -a')$

$\therefore \cos A'=-\cos B'\cos C'+\sin B'\sin C'\cos a'$

ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ΔABC ಯಲ್ಲಿ

$\cos A=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos a$

$\cos B=-\cos C\cos A+\sin C\sin A\cos b$

$\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cos c$

ಎಂಬ ಸೂತ್ರಗಳು ಸಹ ದೊರೆಯುತ್ತವೆ.

ಸೈನುಗಳ ನಿಯಮ

ನಿರೂಪಣೆ ಹೀಗಿದೆ-

${\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}$

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ CD ಯನ್ನು OAB ಸಮತಲಕ್ಕೆ, DP ಯನ್ನು OA ಗೆ ಮತ್ತು DQ ವನ್ನು OB ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಎಳೆದಿರುವುದನ್ನು ತೋರಿಸಬಹುದು. c, p; c, q ಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಬೇಕು. ಆಗ OPC, PDC, OQC, QDC ತ್ರಿಭುಜಗಳು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಭುಜಗಳು. ಚಿತ್ರದಿಂದ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಸಿದ್ಧಿಸುತ್ತವೆ:

${\begin{aligned}&QC=\sin a\\&{\frac {DC}{QC}}=\sin B\\\therefore &DC=\sin a\sin B\end{aligned}}$ 

ಇದೇ ಪ್ರಕಾರ

${\begin{aligned}&DC=\sin b\sin A\\\therefore &\sin a\sin B=\sin b\sin A\\\therefore &{\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}\end{aligned}}$

ಇದೇ ಪ್ರಕಾರ ಇವನ್ನು ${\frac {\sin C}{\sin c}}$ ಗೆ ಕೂಡ ಸಮವೆಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು.

ನಿಗಮನಗಳು

ಮೇಲೆ ಸಾಧಿಸಿರುವ ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ಕೆಲವು ಮುಖ್ಯ ನಿಗಮನಗಳನ್ನು (deductions) ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಮೊದಲ ನಿಗಮನ

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ a,b, B,C ಧಾತುಗಳು ತಿಳಿದಿವೆ. ಅವನ್ನು ಸಂಬಂಧಿಸಲು cos a cos C = sin a cot b - sin C cot B ಎಂಬ ಸೂತ್ರ ಉಂಟು. ಇದರ ಸಾಧನೆಯನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿದೆ.

${\begin{aligned}\cos b&=\cos a\cos x+\sin a\sin x\cos B\\\cos x&=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C\\{\frac {\sin x}{\sin C}}&={\frac {\sin b}{\sin B}}\end{aligned}}$

ಎಂಬ ಮೂರು ಗೊತ್ತಿರುವ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ sin x ಮತ್ತು cos x ಗಳನ್ನು ವಿಸರ್ಜಿಸಿ ಸರಳೀಕರಿಸಿ ಪದಗಳನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥಿತಗೊಳಿಸಿದರೆ ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರ ಬರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡುವ ಸೂತ್ರ ಹೀಗಿದೆ:

cos (ಒಳಭುಜ) X cos (ಒಳ ಕೋನ) = sin (ಒಳ ಭುಜ) X cot (ಬೇರೆ ಭುಜ) - sin (ಒಳ ಕೋನ) X cot (ಬೇರೆ ಕೋನ)

ಗೋಳತ್ರಿಕೋಣಮಿತಿಯ ಅರ್ಧಕೋನ ಸೂತ್ರಗಳು

${\begin{aligned}\tan {\frac {A}{2}}&={\frac {r}{\sin(s-a)}},\sin {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {\sin(s-b)\sin(s-c)}{\sin b\sin c}}}\\\tan {\frac {B}{2}}&={\frac {r}{\sin(s-b)}},\cos {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {\sin s\sin(s-a)}{\sin b\sin c}}}\\\tan {\frac {C}{2}}&={\frac {r}{\sin(s-c)}},\tan {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {\sin(s-b)\sin(s-c)}{\sin s\sin(s-a)}}}\end{aligned}}$

$\sin A={\frac {2}{\sin b\sin c}}[\sin s\sin(s-a)\sin(s-b)\sin(s-c)]^{\frac {1}{2}}$

ಇಲ್ಲಿ $s={\frac {1}{2}}(a+b+c)$ ಮತ್ತು $r=[\sin(s-a)\sin(s-b)\sin(s-c)/\sin s]^{\frac {1}{2}}$

ಈ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಸಮತಲ ತ್ರಿಕೋಣಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಅನುರೂಪ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಬಳಸುವ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಇದೇ ಪ್ರಕಾರ

$S={\frac {1}{2}}(A+B+C)$  ಮತ್ತು $R=[\cos(S-A)\cos(S-B)\cos(S-C)/(-\cos S)]^{\frac {1}{2}}$

ಆಗಿರುವಾಗ

${\begin{aligned}\cot {\frac {a}{2}}&={\frac {R}{S-A}}\\\cot {\frac {b}{2}}&={\frac {R}{S-B}}\\\cot {\frac {c}{2}}&={\frac {R}{S-C}}\end{aligned}}$

ಸಮತಲ ತ್ರಿಕೋಣಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಅನುರೂಪ ಸೂತ್ರಗಳೊಡನೆ ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರಗಳ ಸಾದೃಶ್ಯ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿದೆ.

ಗೋಳತ್ರಿಭುಜದ ಬಿಡಿಸುವಿಕೆ

ಒಂದು ಗೋಳತ್ರಿಭುಜದ ಮೂರು ಧಾತುಗಳು ದತ್ತವಾಗಿರುವ ಕೆಳಗಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಆ ತ್ರಿಭುಜವನ್ನು ಮೇಲೆ ನಿರೂಪಿಸಿರುವ ವಿವಿಧ ಸೂತ್ರಗಳ ಬಳಕೆಯಿಂದ ಬಿಡಿಸಬಹುದು.

1. ಮೂರು ಭುಜಗಳು ದತ್ತ.
2. ಎರಡು ಭುಜಗಳೂ, ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವೂ ದತ್ತ,
3. ಮೂರು ಕೋನಗಳು ದತ್ತ,
4. ಎರಡು ಕೋನಗಳೂ, ಅವನ್ನು ಜೋಡಿಸುವ ಭುಜವೂ ದತ್ತ,
5. ಎರಡು ಭುಜಗಳೂ, ಒಂದು ಅಭಿಮುಖ ಕೋನವೂ ದತ್ತ,
6. ಎರಡು ಕೋನಗಳೂ, ಅವುಗಳ ಪೈಕಿ ಒಂದರ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುವೂ ದತ್ತ.

1. a,b,c ದತ್ತವಾದಾಗ

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A ಸೂತ್ರ A ಯನ್ನು ಕೊಡುತ್ತದೆ. ಇದೇ ರೀತಿ B,C ಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

2. a,b,c ದತ್ತವಾದಾಗ

cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C ಸೂತ್ರ C ಯನ್ನು ಕೊಡುತ್ತದೆ. ಬಳಿಕ (1) ರ ಅನುಸಾರ A,B ಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

3. A,B,C ದತ್ತವಾದಾಗ (ಧ್ರುವೀಯ ತ್ರಿಭುಜ)

cos A = - cos B cos C + sin B sin C cos a ಸೂತ್ರ a ಯನ್ನು ಕೊಡುತ್ತದೆ. ಇದೇ ರೀತಿ b,c ಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

4. B,C, a ದತ್ತವಾದಾಗ

cos A = - cos B cos C + sin B sin C cos a ಸೂತ್ರ A ಯನ್ನು ಕೊಡುತ್ತದೆ. ಬಳಿಕ

${\frac {\sin a}{\sin A}}={\frac {\sin b}{\sin B}}={\frac {\sin c}{\sin C}}$

ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ b,c ಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

5.  b,c, B ದತ್ತವಾದಾಗ

${\frac {\sin b}{\sin B}}={\frac {\sin c}{\sin C}}$

ಸೂತ್ರ C ಕೊಡುತ್ತದೆ. ಬಳಿಕ

cos b = cos c cos a + sin c sin a cos B ಸೂತ್ರದಿಂದ a ಯನ್ನೂ,

${\frac {\sin a}{\sin A}}={\frac {\sin b}{\sin B}}$

ಸೂತ್ರದಿಂದ A ಯನ್ನೂ ಪಡೆಯಬಹುದು.

6.  b,B,C ದತ್ತವಾದಾಗ

${\frac {\sin b}{\sin B}}={\frac {\sin c}{\sin C}}$

ಸೂತ್ರ c ಯನ್ನು ಕೊಡುತ್ತದೆ. ಬಳಿಕ ಈ ಹಿಂದಿನಂತೆ a ಮತ್ತು A ಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ನೇಪಿಯರನ ಸೂತ್ರವಿಧಿಗಳು

ಗೋಳತ್ರಿಭುಜದಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಕೋನ ಲಂಬಕೋನವಾದಾಗ ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರಗಳು ಸರಳರೂಪವನ್ನು ತಳೆಯುತ್ತವೆ.

ΔABC ಯಲ್ಲಿ $C={\frac {\pi }{2}}$ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಆಗ

cos C = cos a cos b, sin a = sin A sin C,

tan a = cos B tan C, tan a = tan A sin b

ಇತ್ಯಾದಿ ಸುಲಭ ಸೂತ್ರಗಳು ಲಭ್ಯವಾಗುತ್ತವೆ. ಇವೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಸುಲಭವಾಗಿ ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ಬರೆಯಲು ಎರಡು ಸೂತ್ರವಿಧಿಗಳು (ರೂಲ್ಸ್) ಇವೆ. ಅವನ್ನು ಅವುಗಳ ಅವಿಷ್ಕರ್ತೃ ನೇಪಿಯರನ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲಾಗಿದೆ. ΔABC ಯಲ್ಲಿ $C={\frac {\pi }{2}}$, ಇದನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಕೋನವನ್ನು ರಚಿಸುವ a,b ಭುಜಗಳನ್ನು ಹಾಗೆಯೇ ಇಡುತ್ತೇವೆ. ಉಳಿದ ಧಾತುಗಳ (B, c, A) ಲಂಬಪೂರಕಗಳನ್ನು (ಕಾಂಪ್ಲಿಮೆಂಟ್ಸ್) ಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. (ಅವು ${\frac {\pi }{2}}-B,{\frac {\pi }{2}}-c,{\frac {\pi }{2}}-A$). ಈ ಐದು ಧಾತುಗಳನ್ನು, ಒಂದು ವೃತ್ತವನ್ನು ಐದು ಖಂಡಗಳಾಗಿ ವಿಭಾಗಿಸಿ ಒಂದೊಂದು ಖಂಡದೊಳಗೆ ಒಂದೊಂದರಂತೆ, ಅವು ತ್ರಿಭುಜದಲ್ಲಿ ಬರುವ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ನೇಪಿಯರನ ಸೂತ್ರವಿಧಿಗಳ ನಿರೂಪಣೆ ಹೀಗಿದೆ

ನಡುವಣ ಧಾತುವಿನ ಸೈನ್ = ಪಾರ್ಶ್ವ ಧಾತುಗಳ ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟುಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ

ನಡುವಣ ಧಾತುವಿನ ಸೈನ್ = ಅಭಿಮುಖ ಧಾತುಗಳ ಕೊಸೈನುಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ

ಉದಾಹರಣೆಗೆ ${\frac {\pi }{2}}-C$ ನಡುವಣ ಧಾತುವಾಗಿರಲಿ. ಆಗ ${\frac {\pi }{2}}-A$, ${\frac {\pi }{2}}-B$ ಧಾತುಗಳು ಪಾರ್ಶ್ವಧಾತುಗಳೂ, a,b ಧಾತುಗಳು ಅಭಿಮುಖ ಧಾತುಗಳೂ ಆಗುತ್ತವೆ. ನೇಪಿಯರನ ಸೂತ್ರವಿಧಿಗಳ ಪ್ರಕಾರ

$\sin \left({\frac {\pi }{2}}-C\right)=\tan \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)\tan \left({\frac {\pi }{2}}-B\right)$

ಮತ್ತು $\sin \left({\frac {\pi }{2}}-C\right)=\cos a\cos b$

∴ cos C = cot A cot B

= cos a cos b

ಒಂದು ಲಂಬಕೋನ ಗೋಳತ್ರಿಭುಜದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಧಾತುಗಳು ದತ್ತವಾಗಿರುವಾಗ ಆ ತ್ರಿಭುಜವನ್ನು ಬಿಡಿಸಬಹುದು.

ಗೋಳತ್ರಿಭುಜದ ಇತರ ಗುಣಗಳು

ABC ಗೋಳತ್ರಿಭುಜದಲ್ಲಿ AD ಮಹಾವೃತ್ತವನ್ನು BC ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಎಳೆದಿರುವುದನ್ನು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಬಹುದು. ಇದೇ ರೀತಿ BE,CF ಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ CA, AB ಗಳಿಗೆ ಲಂಬಗಳಿಗೆ ಎಳೆಯಬಹುದು. ಇವು ಸಂಪಾತಿಸುತ್ತವೆ. (ಕನ್‌ಕರೆಂಟ್).

1.  ಈಗ sin a sin AD = sin b sin BE = sin c sin CF = 2n

sin A sin AD = sin B sin BE = sin C sin CF = 2N

ಇಲ್ಲಿ n=[sin s sin (s-a) sin (s-b) sin (s-c)]^½

N=[-cos S cos (S-A) cos (S-B) cos (S-C)]^½

2s = a+b+c, 2S = A + B + C

ಆದ್ದರಿಂದ  ${\frac {\sin a}{\sin A}}={\frac {\sin b}{\sin B}}={\frac {\sin c}{\sin C}}={\frac {n}{N}}$

2. ABC ಗೋಳತ್ರಿಭುಜದಲ್ಲಿ ಶೃಂಗಗಳ ಮೂಲಕ ಎಳೆದ ಯಾವುದೇ ಮೂರು ಮಹಾವೃತ್ತಗಳು AD, BE, CF ಸಂಪಾತಿಸಿದರೆ ಆಗ ${\frac {\sin BD\sin CE\sin AF}{\sin DC\sin EA\sin FB}}=+1$ ಮತ್ತು ವಿಲೋಮವಾಗಿ ಕೂಡ. ಇದನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಅಥವಾ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಸಾಧಿಸಬಹುದು:

• ಗೋಳ ತ್ರಿಭುಜದ ಮೂರು ಲಂಬಗಳು ಸಂಪಾತಿಸುತ್ತವೆ.
• ಗೋಳ ತ್ರಿಭುಜದ ಕೋನಗಳನ್ನು ಅರ್ಧಿಸುವ ಮಹಾವೃತ್ತಗಳು ಸಂಪಾತಿಸುತ್ತವೆ.
• ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಆಯಾ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುವಿನ ಮಧ್ಯ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸೇರಿಸುವ ಮಹಾವೃತ್ತಗಳು ಸಂಪಾತಿಸುತ್ತವೆ.

3. ಗೋಳತ್ರಿಭುಜ ABC ಯ ಭುಜಗಳನ್ನು ಲಂಬೀಯವಾಗಿ ಅರ್ಧಿಸುವ ಮಹಾ ವೃತ್ತಗಳು S ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಂಪಾತಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದುಕೊಂಡರೆ, ಆಗ SA = SB = SC. ಆದ್ದರಿಂದ S ಬಿಂದು ಧ್ರುವವಾಗಿಯೂ, SA = SB = SC = R ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿಯೂ ಇರುವ ಅಲ್ಪವೃತ್ತವನ್ನೆಳೆದರೆ (lesser circle) ಅದು ΔABC ಯ ಪರಿವೃತ್ತ (ಸರ್ಕಮ್ ಸರ್ಕಲ್) ಅಗುತ್ತದೆ. ΔABC ಕೋನಾರ್ಧಕಗಳು (angle bisector) ಕೂಡ ಸಂಪಾತಿಸುವುವಷ್ಟೇ. ಸಂಪಾತಬಿಂದು (intersection point) I ನಿಂದ IL, IM, IN ಕಂಸಗಳನ್ನು ಭುಜಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಎಳೆದರೆ IL=IM=IN ಆಗುತ್ತದೆ. ಇವುಗಳ ಬೆಲೆ r ಆಗಿರಲಿ. I ಧ್ರುವವಾಗಿ r ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿ ಇರುವ ಲಘುವೃತ್ತ (small circle) ತ್ರಿಭುಜದ ಮೂರು ಭುಜಗಳನ್ನೂ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ΔABC ಒಳವೃತ್ತ. ಹೀಗೆಯೇ BC ಭುಜವನ್ನು ಒಳಗಡೆಯೂ, AB, AC ಭುಜಗಳನ್ನು ಹೊರಗಡೆಯೂ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ಲಘುವೃತ್ತವನ್ನು ಕೂಡ ಎಳೆಯಬಹುದು. ಇದು ತ್ರಿಭುಜದ ಒಂದು ಹೊರವೃತ್ತ (excircle). ಇದೇ ತೆರನ ಇನ್ನೂ ಎರಡು ಹೊರವೃತ್ತಗಳಿವೆ.

AB, AC ಭುಜಗಳನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಿದಾಗ ಅವು A ಗೆ ವ್ಯಾಸಾಭಿಮುಖವಾದ A' ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತವೆ. ABA' ಮತ್ತು ACA' ಮಹಾವೃತ್ತಗಳು ಗೋಳದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಇಂದುಕವನ್ನು (ಲ್ಯೂನ್) ರಚಿಸುತ್ತವೆ. ABC ಮತ್ತು A'BC ತ್ರಿಭುಜಗಳಿಗೆ ಸಹೇಂದುಕ (ಕೋಲ್ಯುನಾರ್) ತ್ರಿಭುಜಗಳೆಂದು ಹೆಸರು. ΔA'BC ಯ ಒಳವೃತ್ತ ΔABC ಗೆ ಹೊರವೃತ್ತವಾಗುತ್ತದೆ.

4. ಇತರ ಕೆಲವು ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ನಿರೂಪಿಸಿದೆ.

(a) ಒಂದು ಮಹಾವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ X, Y, Z ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳಾಗಿ ಗೋಳದ ಮೇಲೆ P ಬೇರೊಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ ಆಗ cos PX sin YZ + cos PY sin ZX + cos PZ sin XY = 0. ಇಲ್ಲಿ YZ, ZX, XY ಗಳನ್ನು ಸೂಕ್ತ ಧನ ಅಧವಾ ಋಣ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಉಪಯೋಗಿಸಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ZY=-YZ.

(b) ABC ತ್ರಿಭುಜದ ಭುಜಗಳನ್ನು ಒಂದು ಮಹಾವೃತ್ತ L, M, N ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸಿದರೆ

${\frac {\sin BL\sin CM\sin AN}{\sin LC\sin MA\sin NB}}=-1$

(ಇದು ಮೆನೆಲಾಸನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ.)

(c) ABCD ಗೋಳೀಯ ಚತುರ್ಭುಜದ (spherical quadrilateral) ಶೃಂಗಗಳು ಒಂದು ಲಘುವೃತ್ತದ ಮೇಲಿದ್ದರೆ ಆಗ A + C = B + D.

(d) A, B ಕೇಂದ್ರವಾಗಿ ಇರುವ ಎರಡು ಲಘುವೃತ್ತಗಳಿಗೆ ಗೋಳದ ಮೇಲಣ ಒಂದು ಬಿಂದು P ಯಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶವೃತ್ತಗಳು ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ P ಬಿಂದುವಿನ ಪಥ AB ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಮಹಾವೃತ್ತ. ಇದಕ್ಕೆ ಲಘುವೃತ್ತಗಳ ಮೂಲಾಕ್ಷವೃತ್ತವೆಂದು (ರ‍್ಯಾಡಿಕಲ್ ಸರ್ಕಲ್) ಹೆಸರು. ದತ್ತ ಲಘುವೃತ್ತಗಳು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸಿದರೆ ಈ ಬಿಂದುಗಳು ಸೇರಿಸತಕ್ಕ ಮಹಾವೃತ್ತವೇ ಮೂಲಾಕ್ಷವೃತ್ತ.

ಮೂಲಾಕ್ಷವೃತ್ತದ ಹಾಗೂ ಸಹಮೂಲಾಕ್ಷ (ಕೋಆ್ಯಕ್ಸಲ್) ವೃತ್ತ ಸಮುದಾಯದ ಗುಣಗಳನ್ನು ಸಮತಳ ಗಣಿತದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನನುಸರಿಸಿ ಅನೇಕವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು.

(e) ಸಮತಳ ತ್ರಿಭುಜದಲ್ಲಿ ಒಳವೃತ್ತವನ್ನೂ, ಹೊರವೃತ್ತಗಳನ್ನೂ ಸ್ಪರ್ಶಿಸತಕ್ಕ ಒಂದು ವೃತ್ತವಿರುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ನವಬಿಂದು ವೃತ್ತ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಗೋಳತ್ರಿಭುಜದಲ್ಲಿ ಒಳವೃತ್ತವನ್ನೂ, ಹೊರವೃತ್ತಗಳನ್ನೂ ಸ್ಪರ್ಶಿಸತಕ್ಕ ಒಂದು ಲಘುವೃತ್ತವಿರುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಹಾರ್ಟನ ವೃತ್ತ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಹಾರ್ಟನ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯ ρ ಮತ್ತು ಪರಿವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯ R ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ, tan ρ = ½ tan R.

(f) ಗೋಳ ತ್ರಿಭುಜದ ಲಂಭಕೇಂದ್ರ O, ಮಧ್ಯ ರೇಖೆಗಳ (ಮೀಡಿಯನ್ಸ್) ಸಂಪಾತಕೇಂದ್ರ G, ಹಾರ್ಟನ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರ H, ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ O, H, G ವೃತ್ತದ ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದು ಮಹಾವೃತ್ತದ ಮೇಲಿರುವವು.

5. ಗೋಳೀಯ ಹೆಚ್ಚಳ: ABC ಗೋಳ ತ್ರಿಭುಜದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ π ಗಿಂತ ಅಧಿಕವೆಂದು ಗಮನಿಸಿದ್ದೇವೆ. A + B + C - π ಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ತ್ರಿಭುಜದ ಗೋಳೀಯ ಹೆಚ್ಚಳ (ಸ್ಫೆರಿಕಲ್ ಎಕ್ಸೆಸ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಗೋಳದ ತ್ರಿಜ್ಯ R ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ ABC ತ್ರಿಭುಜದ ಸಲೆ (A + B + C - π) R². ಇದಕ್ಕೆ ಗಿರಾರ್ಡನ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇದನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವುದರಿಂದ n ಭುಜಗಳಿರುವ ಗೋಳೀಯ ಬಹುಭುಜದ ಸಲೆ $\left[\left(\sum _{n=1}^{N}A_{n}\right)-(N-2)\pi \right]R^{2}$ ಎಂದು ದೊರೆಯುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ Σ ಬಹುಭುಜದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ. ΔABC ಯ ಗೋಳೀಯ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು E ಎಂದು ಕರೆದರೆ E ಯನ್ನು ಕುರಿತ ಕೆಲವು ಉಕ್ತಿಗಳು ಮುಖ್ಯವಾಗಿವೆ.

$\sin {\frac {1}{2}}E={\frac {[\sin s\sin(s-a)\sin(s-b)\sin(s-c)]^{\frac {1}{2}}}{2\cos {\frac {a}{2}}\cos {\frac {b}{2}}\cos {\frac {c}{2}}}}$

ಇದಕ್ಕೆ ಕಗ್ನೋಲಿಯ ಸಮೀಕರಣವೆಂದು ಹೆಸರು.

$\tan {\frac {1}{4}}E=[\tan {\frac {1}{2}}s\tan {\frac {1}{2}}(s-a)\tan {\frac {1}{2}}(s-b)\tan {\frac {1}{2}}(s-c)]^{\frac {1}{2}}$

ಇದಕ್ಕೆ ಲ್ವಿಲಿಯರನ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಆದ್ದರಿಂದ ತ್ರಿಭುಜದ ಭುಜಗಳು ದತ್ತವಾಗಿದ್ದರೆ ಗೋಳೀಯ ಹೆಚ್ಚಳ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.

 $L=[\cot {\frac {1}{2}}s\tan {\frac {1}{2}}(s-a)\tan {\frac {1}{2}}(s-b)\tan {\frac {1}{2}}(s-c)]^{\frac {1}{2}}$

ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ ಮೇಲಣ ಉಕ್ತಿಯನ್ನು $\tan {\frac {1}{4}}E=L/\cot {\frac {s}{2}}$  ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಹೀಗೆಯೇ $\tan {\frac {1}{4}}(2A-E)=L/\tan {\frac {1}{2}}(s-a)$ ಇತ್ಯಾದಿ.

ಆದ್ದರಿಂದ

$L=\left[\tan {\frac {1}{2}}E\tan {\frac {1}{4}}(2A-E)\tan {\frac {1}{4}}(2B-E)\tan {\frac {1}{4}}(2C-E)\right]^{\frac {1}{2}}$

ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು

• Weisstein, Eric W., "Spherical Trigonometry", MathWorld. a more thorough list of identities, with some derivation
• Weisstein, Eric W., "Spherical Triangle", MathWorld. a more thorough list of identities, with some derivation
• TriSph A free software to solve the spherical triangles, configurable to different practical applications and configured for gnomonic
• "Revisiting Spherical Trigonometry with Orthogonal Projectors" by Sudipto Banerjee. The paper derives the spherical law of cosines and law of sines using elementary linear algebra and projection matrices.
• "A Visual Proof of Girard's Theorem". Wolfram Demonstrations Project. by Okay Arik
• "The Book of Instruction on Deviant Planes and Simple Planes", a manuscript in Arabic that dates back to 1740 and talks about spherical trigonometry, with diagrams
• Some Algorithms for Polygons on a Sphere Robert G. Chamberlain, William H. Duquette, Jet Propulsion Laboratory. The paper develops and explains many useful formulae, perhaps with a focus on navigation and cartography.
• Online computation of spherical triangles